항 기호 (1): 각운동량의 섞임.
모 커뮤니티에 항 기호(term symbol)에 대한 이야기를 쓰다가 그만... 대략 일반물리학/일반화학 수준의 지식이 있는 독자를 대상으로 합니다. 틀린 점 있다면 지적해주세요.
전자가 하나 밖에 없는 수소 원자를 생각해봅시다. 수소 원자에 붙잡혀 있는 전자는 크게 두 가지 각운동량을 가질 수 있습니다. 공전으로 생각할 수 있는 오비탈 각운동량과 자전으로 생각할 수 있는 스핀 각운동량이죠. 여기까지는 고전역학적으로도 이해가 가죠? (물론 양자역학적으로 엄밀히 말하자면 공전이나 자전은 틀린 개념입니다. 이건 또 이거대로 복잡한 이야기가 필요하니 패스.)

그리고 각 각운동량은 양자역학적으로 '양자수'를 두 개씩 갖습니다. 각운동량 자체에 연관되는 양자수와, 각운동량의 z축 방향 성분과 연관되는 양자수(자기 양자수라고 합니다)를 갖지요. (뭐 이것도 구체적으로 설명하자면 양자역학적 가관측량 연산자의 고유값입니다만, ... 그냥 넘어갑시다.) 정리하면 다음과 같습니다.

* 오비탈 각운동량: 각운동량 양자수 l, 자기 양자수 ml
* 스핀 각운동량: 각운동량 양자수 s, 자기 양자수 ms

익숙한 녀석들이 보이죠? 전자의 경우 스핀 각운동량 양자수 s는 항상 1/2로 정해져 있기 때문에, 원자 내에서 값이 바뀔 수 있는 양자수는 l, ml, ms 뿐입니다. 여기에 주양자수 n을 더하면 우리가 알고 있는 네 개의 양자수 풀셋이 완성되지요. (참고: 주양자수는 각운동량과 관련된 값이 아니라 방사상 운동과 관련된 값입니다. 슈뢰딩거 방정식을 풀어보면 알 수 있죠.)

자, 여기까지 살펴보면 무슨 결론이 나옵니까? 오비탈 각운동량이나 스핀 각운동량이나 "똑같은" 각운동량인 것을 알 수 있습니다. 운동의 "방향"이 다를 뿐이죠. 그렇기에 이 각운동량들은 서로 "섞일 수" 있습니다. 지금 우리는 수소 원자를 보고 있으니 수소 원자에서 오비탈 각운동량과 스핀 각운동량이 어떻게 섞이는지 살펴볼까요?

다시 고전역학으로 돌아가 봅시다. 고전역학에서 각운동량은 스칼라인가요, 벡터인가요? 네, 벡터입니다. 그렇다면 두 각운동량을 섞으려면 벡터의 합을 써먹어야겠죠? 다음 그림을 살펴봅시다. L 벡터가 오비탈 각운동량 벡터, S 벡터가 스핀 각운동량 벡터입니다. (불확정성 원리에 의해 벡터 자체가 고정될 수 없으므로 세차 운동을 하는 것처럼 그려져 있습니다.) 두 벡터가 더해져서 J 벡터가 만들어지는 게 보이시나요?


이걸 산술적으로 풀면 다음과 같습니다. 오비탈 각운동량 양자수 l = 1이라 합시다. (즉 p 오비탈이라는 얘기죠?) 스핀 각운동량 양자수는 앞서 말했듯 항상 s = 1/2입니다. 두 벡터가 여러 가지 방향으로 조합될 수 있는데, 다만 두 벡터의 합으로 나오는 총 각운동량 양자수는 양자역학적 제한으로 인해 항상 반정수 혹은 정수여야 하고, 각 양자수의 간격은 1이어야 합니다. 그럼 어떤 조합이 가능한가요? 가장 값이 큰 경우는 두 벡터가 같은 방향으로 평행한 경우, 즉 양자수가 단순히 더해지는 경우겠죠. l + s = 3/2인 경우입니다. 반대로 가장 값이 작은 경우는? 두 벡터가 반대 방향으로 평행한 경우, 즉 양자수가 서로 빼지는 경우겠죠. |l - s| = 1/2인 경우입니다. 두 양자수의 간격이 1이므로 다른 양자수는 있을 수 없겠네요. 자, 지금 계산한 양자수가 총 각운동량 양자수 j입니다. j = 3/2 혹은 1/2이라는 결론을 얻었네요.

이 총 각운동량 j 역시 z축 방향 성분 양자수, 즉 자기 양자수 mj를 가질 수 있습니다. 이건 우리가 l로부터 ml을 계산하는 것과 똑같게 하면 됩니다.

* j = 3/2인 경우: mj = 3/2, 1/2, -1/2, -3/2
* j = 1/2인 경우: mj = 1/2, -1/2

자, 여기서 주의할 점이 하나 있습니다. 우리가 각운동량을 섞을 때에는 원래 각운동량의 자기 양자수인 ml이나 ms를 전혀 신경쓰지 않는다는 것입니다. 일단 원래 각운동량 양자수인 ls만 가지고 섞어서 j를 만들고, 그로부터 다시 "새로운" 자기 양자수 mj를 계산할 뿐이죠.

자, 이제 우리는 수소 원자의 "새로운" 양자 상태들을 얻었습니다. 이 "새롭다"는 말이 뭔가 수소 원자의 성질이 바뀌었다는 뜻은 아니에요. 수소 원자는 똑같은데, 그 원자의 전자 상태를 기술하는 방법이 달라졌을 뿐이죠. (물론 자기장이 걸린다든지 하면 원자의 조건이 달라져서 "더 좋은" 기술 방법이 생기기는 합니다.) 이제 스핀과 오비탈이 더 이상 분리되지 않은 채 "하나의" 각운동량 양자수 jmj로 기술되네요.

지금까지는 일전자 원자인 수소에 대한 이야기였습니다. 다전자 원자에 대해서는 어떻게 하면 될까요? 다전자 원자는 쵸오큼 복잡합니다. 그리고 새로운 표기법인 "항 기호"도 알아야 하죠. 자세한 내용은 다음 글에서 계속!
by 로보스 | 2009/12/01 17:56 | |과학| | 트랙백 | 핑백(1) | 덧글(26)
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Commented at 2009/12/01 19:31
비공개 덧글입니다.
Commented by 로보스 at 2009/12/02 10:25
비밀글// ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
Commented by 고영호 at 2009/12/04 22:59
흠..하루 공부 시간이?ㅜ
'수학이란 무엇인가' 책에서 나온건가..?
Commented by 로보스 at 2009/12/08 08:42
고영호님// 죄송하지만 무슨 말씀인지 잘 이해가 안 갑니다 ^^;

"공부 시간"이 제 공부 시간을 말씀하시는 거라면, 요즘엔 회사 다니느라 공부를 못 하고 있다고 답변드리고요; <수학이란 무엇인가> 말씀이 이 내용의 출처를 물으시는 거라면, 그냥 제가 알고 있는 내용을 정리한 것 뿐이라고 해야겠네요.
Commented at 2009/12/05 13:50
비공개 덧글입니다.
Commented by 로보스 at 2009/12/08 08:42
비밀글님// 아 그렇습니까?;; 저는 잘 몰라서...
Commented at 2009/12/08 10:52
비공개 덧글입니다.
Commented by 로보스 at 2009/12/08 11:39
비밀글님// 음; 그냥 애초에 제가 전혀 모르는 이름이던데요 -ㅂ-;
Commented at 2009/12/08 11:41
비공개 덧글입니다.
Commented by 로보스 at 2009/12/08 11:44
비밀글님// 아... 그랬군요 ^^; 직접 물어보시지 그러세요? ㅎㅎ
Commented at 2009/12/08 11:53
비공개 덧글입니다.
Commented by 로보스 at 2009/12/08 11:56
비밀글님// 네엡 :) 좋은 하루 보내세요-
Commented by freeblue at 2010/03/16 23:33
인터넷서 돌아다니다 들르게 됐는데, 설명을 풀어서 정말 잘하시네요... 혹시 중간에 그림 출처 좀 알수 있을까요?^^;;
Commented by 로보스 at 2010/03/17 15:13
freeblue님// 방문 감사드립니다. 그림 출처는... 저도 인터넷에서 주운 것이라 어디서 주웠는지 모르겠네요 ;;;
Commented by 랭보 at 2010/08/12 20:04
"수학이란 무엇인가" 책 보면 나옵니다.
Commented by 로보스 at 2010/08/12 20:21
랭보님// 그렇군요. 고맙습니다.
Commented at 2010/05/11 18:02
비공개 덧글입니다.
Commented by 로보스 at 2010/05/11 18:25
비밀글님// 방문 감사드려요 :)
Commented by ㄷㄷㄷㄷ at 2012/09/29 14:36
제가 배우고 있는게 쏵 정리되네요ㄷㄷ 감사합니다 ㅎㅎ
Commented by 로보스 at 2012/10/04 12:19
ㄷㄷㄷㄷ님// 도움이 되었다니 기쁘네요!
Commented at 2016/02/22 18:19
비공개 덧글입니다.
Commented by 로보스 at 2016/09/23 01:18
비밀글님// 아, 죄송합니다. 이 다음 글은 아마 안 쓰여진 것 같네요 --;
Commented at 2016/10/14 00:44
비공개 덧글입니다.
Commented by 로보스 at 2016/10/14 05:40
비밀글님// 비로그인인데 비밀글로 긴 질문을 남기시는 의도가 뭔지 잘 모르겠습니다만... ^^;

우선 ms와 ml이 방향을 결정한다고 하셨는데, 아닙니다. 이들은 각운동량 벡터의 z축 방향 성분을 나타냅니다.

스핀 각운동량과 궤도 각운동량을 합성하는 것은 "벡터의 합성"이 맞습니다만, 우리가 수학 시간에 배우는 벡터의 합성(성분끼리 더하는 것)을 그대로 쓸 수 없는 이유는, 양자역학적으로 각운동량은 모든 성분이 동시에 결정되지 않기 때문입니다. 그래서 본문에서 그린 것과 같이 뱅글뱅글 도는 식으로 각운동량 벡터를 표현하곤 합니다.

보통 우리는 l과 ml, s와 ms에 대한 정보를 가지고 있기에, 본문에서는 그 정보를 가지고 새로운 양자수인 j와 mj를 구하는 법을 설명했습니다. 개념적으로는 벡터의 합성을 사용한 것이 맞고요, 다만 앞서 말씀드린 바와 같이 산술적인 벡터 합을 쓸 수 없기에 약간의 트릭을 써서 양자수를 가지고 계산을 한 것입니다.

명확한 답변이 되었는지 모르겠습니다. 더 궁금한 것 있으시다면 질문 주세요.
Commented by ㅇㅇ at 2017/05/23 23:45
항기호 2는 언제나오나요? 이해가 잘가게 너무 잘설명해주셔서 2탄도 너무 궁금해요!!
Commented by 로보스 at 2017/07/24 12:11
ㅇㅇ님// 반갑습니다. 부족한 글을 재미있게 읽으셨다니 기쁩니다. 원래 2탄을 야심차게 계획했으나, 글을 올린 날짜를 보면 아시겠지만 8년(...) 동안 쓰지 않았기에 아마 안 올라오지 않을까 싶습니다;;;

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