요새 스튜어트 카우프만의 <혼돈의 가장자리>를 읽고 있다. 뭐, 기본적으로는 생물학의 창발성 이론을 다루고 있는 책인데 이것저것 재미있는 이야기들이 많이 나와 읽는 재미가 쏠쏠하다. 그 중 어제 내 눈길을 끌었던 한 가지! 99쪽부터 104쪽에 걸쳐 '화학적 창조 신화'라는 제목 아래 상전이(phase transition)에 관한 신기한 모델이 등장한다. 아래 일부를 인용한다.

과학자들은 종종 단순한 장난감 모형을 통해 생각함으로써 복잡한 문제에 대한 직관을 얻는다. 내가 여러분에게 말하고 싶은 장난감 문제는 <무작위적인 그래프>와 관련된다. 무작위적인 그래프는 점들과, 이들을 임의로 연결하는 선들의 집합이다. (중략) 무작위로 두 개의 단추를 선택하고 그것들을 실로 연결한다. 이제 이 쌍을 내려놓고 단추를 두 개 더 무작위로 선택해서 실로 연결한다. 이러기를 계속함에 따라 당신은 처음에는 전에 집은 적이 없는 단추들을 집을 것이 거의 확실하겠지만, 한참 후에는 무작위로 선택된 쌍들 중의 하나가 이미 집혀진 적이 있다는 것을 발견하게 될 가능성이 높아질 것이다. 그래서 당신이 새로 선택된 두 개의 단추들을 실로 연결하면, 세 개의 단추가 연결되는 것을 발견하게 될 것이다. 간단히 말해서, 당신이 단추들의 쌍을 무작위로 선택해서 실로 연결하는 것을 계속함에 따라, 한참 후에는 단추들이 더 큰 덩어리들로 서로 연결되기 시작한다. (99-101쪽)

요약해보자. N개의 단추가 있고 M개의 실이 있다. 여기서 랜덤으로 두 개의 단추를 집어 실을 꿰고, 얘네를 내려놓은 후 다시 랜덤으로 두 개의 단추를 집어 실을 꿴다. M이 충분히 크다면 나중에는 이미 다른 단추에 연결된 단추를 집는 경우도 생길 것이다. 그럼 세 개의 단추가 연결되는 셈이다. 여기까지는 이해하기 쉽다. 흥미로운 건 그 다음부터다.

무작위적인 그래프의 중요한 특색들은 실 대 단추의 비율을 조절함에 따라 매우 규칙적인 통계적 거동을 보여준다. 특히 실 대 단추의 비율이 0.5를 넘어설 때 상전이가 일어난다. 그 점에서는 <거대한 덩어리>가 갑자기 형성된다. (중략) 실 대 단추의 비율이 0.5를 지남에 따라 가장 크게 연결된 단추 덩어리의 크기가 갑작스럽게 변하는 현상은 내가 생명의 기원을 이끌었다고 믿는 상전이의 장난감 판이라고 할 수 있다. (101-102쪽)

무슨 소리냐? N을 고정시켜놓고 M을 변화시켜보자. 그러면서 가장 크게 연결된 단추 덩어리의 크기 S를 적어둔다. 예컨대 M = 1이라면 S는 무조건 2겠지. 두 개 연결된 게 가장 크니까. 반대로 M = N(N-1)이라면 모든 단추가 다 연결되므로 S는 N과 같아진다. 재미있는 것은 M/N = 0.5, 즉 M = N/2일 때부터 갑자기 S값이 확 뛴다는 것이다. 책에서는 다음과 같은 그림을 보여준다. N = 400이고 M을 0에서 600까지 변화시킬 때 S값을 그린 그래프이다. (스캔했는데... 저작권법 위반이려나 =ㅁ=)


저자의 주장처럼 M/N = 0.5일 때 갑자기 S값이 확 뛰는 것을 볼 수 있다. 이 그래프를 보는 순간, 지하철에서 기절할 뻔 했다. 나의 오래된 궁금증을 단번에 해결해줬기 때문이다. 난 온도에 따라 상이 연속적으로 변하지 않는 이유를 늘 궁금하게 여겼다. 물을 예로 들어보자. -273도에서 완전한 결정이다가 서서히 결정이 흐트러지면서 0도를 넘으면 액체 비스무리한 녀석이 되고, 그 녀석이 점점 묽어지면서(마치 초임계유체처럼!) 100도를 넘으면 기체 비스무리한 녀석이 되면 왜 안 될까? 어차피 상이라는 건 분자간 결합에 의해 나타나는 것이고, 그 분자들의 운동에너지가 볼츠만 분포를 그린다면 일부는 강하게 결합하고 일부는 약하게 결합할텐데 왜 그게 똑같은 '상(phase)'으로 나타나느냐 이거다. 그런데 이 책에서 이렇게 명쾌한 답을 주었다. 상은 많은 수의 입자가 존재하면 필연적으로 나타나는 것이라고.

잔뜩 흥분해서 지하철 역을 나오는데 갑자기 찬바람이 쌩하고 불었다. 몸이 추워지니 흥분이 가라앉기 시작한다. '잠깐, 그런데 저거 정말로 저럴까?' 설마 카우프만이 구라를 쳤겠어 싶었지만 한 번 눈으로 확인해보고 싶었다. 절대 내가 nerd라서 그런 게 아니다. 그래서 결국 오늘 회사에 나와 시간을 짬짬이 내서 저걸 시뮬레이션하는 프로그램을 짰다. (참고로 VB로 짰습니다 -_-v) 좀 발로 짜서 버그가 많았지만 =_= 어찌어찌 완성했다. 그리고 방금 N = 100으로 놓고 계산을 돌려보았다. 다섯 번 돌리고 평균을 냈다.

...그런데 이거 뭥미?


가로축은 M값이고 세로축은 S값이다. 보시다시피, 카우프만의 그래프와 하.나.도.안.똑.같.다. 카우프만은 자신의 그래프를 시그모이달(sigmoidal) 형태라고 했는데, 이건 시그모이달은 무슨 얼어죽을... 선형이잖아! 상전이가 어딨어!

카우프만, 아무래도 나랑 싸워야겠다.

@ 어디가 잘못된 걸까요 T_T 누가 이것 좀 프로그래밍해서 검증해주세요;;;