일전에 "싸우자!" 덕분에 많은 괴수님들께서 여러 의견을 내주셨는데, 그 중 긁적님께서 "실재론과 실재론적 태도 - 로보스씨와 J0hnLennon의 논쟁에 붙여"라는 제목의 좋은 글을 써주셨다. 아아, 그래서 다시 싸우자는 건 아니고, 그 글에서 재미있는 논증을 하나 보았기에 잠깐 그에 대해 논해보려고 한다.

만일 끝까지 말장난을 하고 싶다면, '신이 거의 존재할 것이라는..'이유를 제시하지요. 별거 아닙니다. 우주론적 증명하고 아우구스티누스의 신에 대한 관념을 짬뽕하고, 대굇수 이승일씨의 '왜 세계에는 에러가 나지 않는가?'를 첨가하면 됩니다. 이승일씨의 관점을 조금 부연하지요. 괴델의 증명으로 인해 익히 알려졌듯이 우리가 사는 세계에는 무모순성이 보장되지 않는데, 우리가 사는 세계에서는 모순된 사건이 일어나지 않는다. 보장되지 않은 무모순성이 보장되기에, 무모순성을 보장하는 신이 존재하는게 아닐까? 그렇지 않다면, 우리 세계에 모순된 사건이 일어나지 않는 사실을 어떻게 설명해야 할까? (도킨스. 나랑 싸우자. 1주일만 공부하면 싸울 수 있다. ㅅㅂㄹㅁ)

혹시 모르니 내가 알고 있는 내용을 주절주절 써보겠다. 틀렸으면 곤란하니까 -ㅅ-; 괴델의 불완비성 정리(1종, 2종이 있다. 면허도 아니고 -_-)는 특정 수학 공리계에서 완비성이 보장되지 않는다는 것을 말하는 정리이다. 완비성(completeness)이란 그 계 내의 모든 정리 P가 P 또는 ~P의 형태로 증명가능함을 의미한다. 가장 간단한 형태인 명제 논리계와 술어 논리계(first-order라고도 한다)에서는 이 완비성이 보장된다. 즉, 계의 공리와 추론규칙(inference rule, 공리 axiom 들을 모아서 정리 theorem 로 유도하는데 사용되는 통사적 규칙 syntactic rule)만 가지고 계 내의 모든 정리 P를 증명 혹은 반증할 수 있다는 얘기다.

문제는 이제 이걸 쓸모있는 계로 확장할 때 생긴다. 페아노 공리계(Peano axioms)는 0을 포함한 자연수계를 묘사할 수 있는 가장 간단한 공리계인데, 괴델이 밝혀낸 것이 바로 이 페아노 공리계에서 완비성이 성립하지 않는다는 것이었다. 페아노 공리계보다 복잡한 계에서도 역시 마찬가지로 완비성이 성립하지 않는다. 이게 낭패가 된 이유는, 일반적인 수학계는 페아노 공리계보다 복잡하니까, 수학적 증명을 통해 P도 ~P도 증명할 수 없는 수학적 정리가 있을 수 있다는 얘기가 되기 때문이다. 논리주의자였던 러셀이나 형식주의자였던 힐베르트가 이 정리가 발표돼서 개쳐발렸다고 하지 -_-;;

오늘 아침에 샤워*-_-*하면서 이것과 긁적님의 말씀을 곰곰히 생각해봤는데, 약간 궁금한 부분이 하나 있다. 저 긁적님의 논증에서 괴델의 불완비성 정리는 '모순된 세계가 존재할 수도 있다'는 형태로 인용되었다. 그런데, 여기서 잠깐. 과연 세계가 수학 체계를 따르는가? 과학을 바라보는 입장이 도구주의에 가까운 나로서는, 별로 그렇지 않을 것 같다. 수학 체계와 세계는 독립된 대상이다. 즉 수학 체계는 인간들이 만들어 낸 '도구'에 불과하고, 다만 인간이 그걸 통해 세계를 설명할 뿐이다. 결국 실제로 세계가 어떤 모양인지는 알 수 없다는 말. 그런 세계를 그저 수학으로 '묘사'할 뿐이지. 따라서 수학 체계가 모순을 가질 수 있다는 얘기로부터 세계가 모순을 가질 수 있다는 얘기를 하는 것은 지나친 비약으로 보인다.

덧붙여, 내가 수학에 대해 잘 모르지만, 괴델의 불완비성 정리가 '모순된 수학 체계가 존재할 수 있다'는 의미로 해석될 수 있는지는 잘 모르겠다. 내가 이해하기로 괴델의 정리는 참/거짓을 분명히 구별할 수 있는 수학적 정리가 있을지라도, 그 정리를 증명도 반증도 못 할 수 있다는 얘기이다. 이게 어떻게 무모순성(consistency)와 연결되는지 잘 모르겠다. 옛날에 수리논리학 들을 때는 각 공리계에 대해서 완비성과 무모순성, 그리고 독립성(independency)을 따로 증명했던 것 같은데... 혹시 이들을 헷갈린 게 아닐까?

그래서 내 생각에는, "신이 거의 존재할 거라는" 논증을 하려면 차라리 일본을 공격한다.

@ 긁적님, 저거 말고 더 짱쎈 논증 없나요? ㅋㅋㅋ