공지사항 겸 방명록.
공지사항 겸 방명록입니다. '대문'이라고나 할까요.

이전에는 공지사항과 방명록을 따로 가져갔는데, 어차피 공지사항을 방명록 용도로 사용하는 분들이 많으셔서 굳이 나눌 필요가 없을 것 같더군요 :) 이전 공지사항, 방명록은 내려놓고 요 녀석으로 통합합니다. 저에게 할 말이 있으시면 이 글에 답으로 달아주세요. 이하는 짤막한 공지사항입니다.

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이 글은 항상 제일 꼭대기에 위치합니다. 최신글은 이 다음 글부터입니다.

* 최종 수정: 2009. 6. 9.
by 로보스 | 2018/12/31 23:59 | |소개| | 트랙백 | 핑백(1) | 덧글(97)
직관이 알고리즘보다 우월한가?
Quantum moves라는 게임이 있다. 나도 해보진 않았지만, 광학 핀셋(optical tweezer)을 사용해서 원자를 A 지점에서 B 지점으로 옮기는 게임이란다. 개발자들은 컴퓨터 알고리즘으로 해결하기 힘든 과학 문제를 인간의 집단 지성이 해결할 수 있다고 주장하는 모양이다. 2년 전 <네이처>에 실린 논문[1]의 초록에서 이들은 다음과 같이 썼다.

우리는 인간 게이머들이 양자 계산 과제와 연관된 어려운 문제들의 답을 찾을 수 있음을 보인다. 게이머들은 순수한 수치 최적화 방법론이 찾지 못한 답들을 찾으며, 게이머들의 답을 분석해 보면 더 깊고 일반적인 본성을 가진 최적화 문제에 대한 통찰력을 얻을 수 있다. (We show that human players are able to find solutions to difficult problems associated with the task of quantum computing. Players succeed where purely numerical optimization fails, and analyses of their solutions provide insights into the problem of optimization of a more profound and general nature.)

여전히 인간의 "직관"이 컴퓨터 알고리즘보다 나을 수 있다는 이야기다. 특히 이들은 이 양자역학 문제가 울퉁불퉁한 에너지 조경(rugged energy landscape)을 가지므로 컴퓨터에게는 어려운 최적화 문제라고 이야기한다. (동일한 이야기를 FoldIt에 대해서도 할 수 있다. 단백질 접힘 문제가 울퉁불퉁한 에너지 조경을 가진 대표적인 문제이기 때문이다.)

하지만 정말로 인간의 직관이 더 나은가? 이걸 불편하게 여긴 한 물리학자(아마도 포닥?)가 이 문제를 연구했고, 그 논문이 오늘 PRA[2]에 출판되었다. 초록에서 역시 한 마디 따온다.

사실, 아무런 선행 지식 없이 임의의 초기값에서 시작하더라도, 단순한 확률적 국소 최적화 방법은 모든 게이머들을 능가하는, 최적해에 매우 가까운 답들을 찾아낸다. (In fact, without any prior knowledge and starting from a random initial seed, a simple stochastic local optimization method finds near-optimal solutions which outperform all players.)

이 사람은 꼼꼼히 이 게임을 뜯어보아, 현재 이 게임으로 다룰 수 있는 문제들은 "쉬운" 문제들(=컴퓨터도 쉽게 풀 수 있는 문제들)임을 밝혀내고, 이 경우 실제로 컴퓨터가 게이머들보다 더 잘 할 수 있다는 것을 보인다. 그리고 양자역학적으로 더 흥미롭고 "어려운" 문제를 제안하면서, 여기서도 게이머들이 더 잘 할 수 있는지 알아보는 것이 가치 있는 연구일 것이라는 말로 논문을 끝낸다.

인간의 직관이 컴퓨터 알고리즘보다 우월한가? 이 질문에 대해 "그렇다"라고 믿고 싶어하는 사람들이 많은 듯 하다. 심지어 과학자들 중에서도 :)

...근데 직관이 뭐죠?
by 로보스 | 2018/04/13 07:24 | |과학| | 트랙백 | 덧글(1)
Partition function
지난 번 통계역학 포스팅에 달린 페북 답글 중에 다른 용어의 어원을 물어보는 글이 있어서 쓸데없이 진지충 모드로 2탄을 쓴다.

통계역학에서 또 중요하게 배우는 개념이 "partition function"인데, 우리말로는 "분배 함수"라고 번역한다. 그리고 Q 혹은 Z라는 기호를 사용하는데, 교과서에서는 Z라는 기호가 독일어 Zustandssumme(sum over states)에서 온 것이라고 설명한다. 이 번역어에 대해서는 그다지 불만이 없지만, 이 이름이 어떻게 붙은 것인지 궁금해져서 조사를 해보았다.

"Partition function"을 포함한, 내가 찾을 수 있는 가장 오래된 논문은 C. G. 다윈파울러1922년 "On the Partition of Energy" 논문이다. (이 C. G. 다윈은 찰스 다윈의 손자이자 다윈 항을 최초로 유도해낸 물리학자이다.)

제목에서부터 알 수 있듯, 이 논문은 열역학 계에서 에너지가 어떻게 "분배"되는지에 관심을 갖고 있다. (재미있는 것은, 깁스의 책으로부터 20년이 지난 이후임에도 이들은 ensemble이라는 표현 대신 assembly라는 표현을 사용한다. 여기서 다시 한 번 그 용어에 집착할 필요가 없음을 알 수 있다.) 간단히 소개하면, 이들은 모음(ensemble/assembly) 내에 들어 있는 계의 개수와 모음 전체의 에너지가 보존된다는 가정 하에 "평균적인" 에너지 분포가 어떻게 되는지를 통계적인 방법을 사용해 계산한다. (더 궁금하면 Pathria 2판 3.2절 참조)

이들은 몇 가지 예제를 푼 후 9절에서 자신들의 방법론을 일반화하는데, 두 계 A, B에 대해 각각 다음을 정의한다. (gi(E)는 계 i에서 에너지 E에 대한 축퇴도)
f(T) = ∑E gA(E) exp(-E/kBT)
g(T) = ∑E gB(E) exp(-E/kBT)
그리고 대망의 정의!
These will be called the partition functions of the types of system A and B. (p. 469)

이들은 후속 논문인 On the Partition of Energy: Part II. Statistical Principles and Thermodynamics (1922)에서 우리가 통계역학에서 배우는 분배 함수의 기초적인 용례를 연구한다. 즉, 분배 함수의 편미분을 사용해서 에너지와 엔트로피를 계산하는 것이다. 이 식들을 유도한 다음, 이들은 다음과 같은 말을 남긴다.

Now (5.1) and (5.2) give precisely the thermodynamic expressions in all comparable cases, and this suggests a direct definition in terms of partition functions. (p. 833)

분배 함수만 가지고 에너지와 엔트로피를 정의할 수 있다! ...뭐 이건 다들 알고 있는 거지요?

앞서 소개한 두 편의 논문에서, 다윈과 파울러는 "partition function"이라는 단어가 처음으로 쓰이는 곳에 각각 다음과 같은 메모를 남겼다. (이들은 독일어를 잘 못했는지 Zustandssumme를 틀리게 썼다.)

[The partition functions] are practically the "Zustandsumme" of Planck, 'Radiation Theory,' p. 127. (첫 번째 논문, p. 469)
[The partition function] with a different notation is the "Zustandsumme" of Planck. (두 번째 논문, p. 825)

그렇다. 바로 우리가 배운 Z라는 기호의 어원이다. 비록 이들은 플랑크의 용어라고 말하고 있지만, 이 기호와 용어를 가장 먼저 쓴 게 누구인지 또 궁금해지지 않는가?

독일어 문헌을 뒤진다는 게 참 쉽지 않은 일이었지만 -_-;; 근성으로 구글 북스를 뒤져보니 1914년 출판된 강의노트, <Vorträge über die Kinetische Theorie der Materie und der Elektrizität>(물질과 전기의 운동 이론에 관한 강의들)에 수록된 디바이의 글 "Zustandsgleichung und Quantenhypothese mit einem Anhang über Wärmeleitung"(상태 방정식과 양자 가설, 그리고 열 전도에 관한 부록)에서 그 뿌리를 찾을 수 있었다.

3절에서, 광전 효과를 예측하기 위해 디바이는 광자 가설을 소개하고 그 가설을 사용해 "Zustandsintegral"을 "Zustandssumme"으로 바꾼다는 이야기를 한다.

(...) so bekommt man an Stelle des Zustandsintegrals (6) die "Zustandssumme" Z (...). (p. 27)
Verwenden wir jetzt noch die neue Form der Zustandssumme zur Berechnung der freien Energie des asymmetrischen Oszillators. (p. 28)

그러면 Zustandsintegrals (식 6) 대신 "Zustandssumme" Z를 얻을 수 있다. (...) 이제부터는 이 Zustandssumme의 새로운 꼴을 사용하여 비대칭 진동자의 자유 에너지를 계산하자.

식 6은 어디에 있는지 찾아보자. 2절에 등장한다.

Zur Berechnung der Funktion F gibt die statistische Mechanik eine sehr einfache Vorschrift. Kennt man nämlich die Energie ɛ eines Systems als Funktion der Koordinaten q und der zugehörigen Impulse p, dann hat man nur das Zustandsintegral
(6) Z = ∫ exp(-ɛ/kT) dq ... dp ...
zu berechnen, (...). (p. 24)

이 함수 F를 계산하는 통계역학은 매우 쉬운 작업이다. 계의 에너지 ɛ를 좌표 q와 이에 대응하는 운동량 p의 함수로 안다면, Zustandsintegral Z를 계산하기만 하면 된다.

여기서 Z가 벌써 사용된 것을 보면, (큰 차이는 없겠지만) Zustandssumme보다 Zustandsintegral에서 온 기호라고 보는 것이 더 맞을 듯 하다.

구글 북스에서 찾을 수 있는 흔적은 이 정도가 전부이다. 1913년에 두 군데 저널(Physikalische Zeitschrift, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung)에서 동일한 내용이 발견되는데, 이는 1913년 4월에 진행된 해당 강의를 듣고 그 내용을 요약한 것이다. 여하간 Zustandssumme이건 Zustandsintegral이건, 해당 시기에 디바이를 제외한 사람들은 그 누구도 이 용어를 쓰지 않은 것으로 보아 이 용어와 Z라는 기호의 창안자는 디바이라고 생각해도 무방할 듯 하다.

정리한다. 우리가 사용하는 "분배 함수"라는 이름을 붙인 것은 1922년 다윈과 파울러로, 이들은 정말로 계의 에너지를 "분배"하는 개념으로 이 용어를 사용했다. 그리고 기호인 Z를 처음 사용한 것은 1913년 근간의 디바이로, 그는 "상태 적분(Zustandsintegral)" 혹은 "상태 합(Zustandssumme)"의 약자로 Z를 선택했다.
by 로보스 | 2018/03/21 07:43 | |과학| | 트랙백 | 덧글(2)
Canonical ensemble
물리학 용어가 간지 난다는 어느 글을 보고 문득 시작한 작업.

통계역학에서 "microcanonical ensemble", "canonical ensemble", "grand canonical ensemble"이라는 놈들을 배우는데, 교과서건 교수님이건 이 녀석들이 왜 이런 이름이 붙었는지를 알려주는 사람이 없었다. 이 용어들을 우리말로 번역할 때는 "미소정준 앙상블(작은 바른틀 앙상블)", "정준 앙상블(바른틀 앙상블)", "대정준 앙상블(큰 바른틀 앙상블)"이라고 번역하는데, 도무지 무슨 소린지 알 수가 없다 -_- 난 이 용어가 겪은 역사를 모른 채 기계적으로 번역했기 때문에 (그리고 일본어식 번역어의 영향으로) 이런 참사가 났다고 생각한다. 그래서 좀 검색해 보니, 이런 포스팅을 찾았다. 이 답변을 중심으로 내가 찾은 몇 가지를 정리해 본다.

1902년 깁스 선생이 출판한 교과서가 이 용어들의 출발점인 것으로 보인다. 책 서문에 보면 이런 말이 나온다.

We consider especially ensembles of systems in which the index (or logarithm) of probability of phase is a linear function of the energy. This distribution, on account of its unique importance in the theory of statistical equilibrium, I have ventured to call canonical, and the divisor of the energy, the modulus of distribution. The moduli of ensembles have properties analogous to temperature, in that equality of the moduli is a condition of equilibrium with respect to exchange of energy, when such exchange is made possible. (p. xi)

즉, 깁스 선생은 열역학과 밀접한 관련이 있는 통계 분포를 "canonical distribution"이라고 명명한다.

재미있는 것은, "canonical ensemble"이라는 용어는 그 자체로 정의된다기보다 "an ensemble canonically distributed"의 준말로 쓰인다는 것이다. 4장에는 이런 말이 나온다.

When an ensemble of systems is distributed in phase in the manner described, i. e., when the index of probability is a linear function of the energy, we shall say that the ensemble is canonically distributed, and shall call the divisor of the energy (Θ) the modulus of distribution. (pp. 33-34)

마찬가지로, "microcanonical"이라는 용어는 "distribution"과 붙어서 처음으로 나온다. 10장의 제목은 "On a Distribution in Phase Called Microcanonical in which all the Systems Have the Same Energy"이다.

An important case of statistical equilibrium is that in which all systems of the ensemble have the same energy. We may arrive at the notion of a distribution which will satisfy the necessary conditions by the following process. We may suppose that an ensemble is distributed with a uniform density-in-phase between two limiting values of the energy, ϵ' and ϵ'', and with density zero outside of those limits. Such an ensemble is evidently in statistical equilibrium according to the criterion in Chapter IV, since the density-in-phase may be regarded as a function of the energy. By diminishing the difference of ϵ' and ϵ'', we may diminish the differences of energy in the ensemble. The limit of this process gives us a permanent distribution in which the energy is constant. (...) We shall call the limiting distribution at which we arrive by this process microcanonical. (p. 115)

즉, 깁스는 canonical ensemble을 기본으로 삼고, 특별한 에너지 스펙트럼을 만족시키는 앙상블을 microcanonical ensemble이라고 따로 명명한 것이다. 이제 내가 왜 헷갈렸는지 알겠다. 내가 통계역학을 배울 때는 (아마 많은 사람들이 그러리라 생각하는데) microcanonical ensemble을 먼저 배웠다. 그리고 계+주위를 microcanonical ensemble로 보고 계와 주위 사이에 열 교환이 가능하다고 가정한 후 계만 다루면 canonical ensemble을 얻을 수 있다고 배웠다. 그러다 보니 왜 더 뒤에 나오는 녀석이 "canonical"인지 이해를 못했는데, 깁스의 사고 속에서는 canonical이 더 일반적이고 microcanonical은 하나의 특수한 경우에 해당하니까 그게 당연한 것이었다.

그럼 그 이름은 왜 "micro"canonical일까? 다음 문장에서 깁스의 생각을 엿볼 수 있다.

The use of formulae relating to a canonical ensemble (...) amounts to the consideration of the ensemble as divided into an infinity of microcanonical elements. (p. 116)

만약 canonical ensemble을 무한 개의 (서로 다른 에너지를 갖는) subensemble이 합쳐진 것으로 본다면, 이 각 subensemble은 "micro"하다고 볼 수 있을 것이다.

마지막으로 grand canonical ensemble의 어원을 찾아보자. 마지막 장인 14장에서, 깁스는 입자까지 교환 가능한 계들로 이루어진 앙상블을 상상한다. 흥미롭게도, 깁스는 "grand canonical ensemble"이라는 용어를 쓴 적이 없다. 그가 쓴 용어는 grand ensemble이었는데, 사실 그 "grand"를 일반적인 용어에 포함시키려는 의도조차 없었다!

[W]e shall now suppose that the systems constituting an ensemble are composed of particles of various kinds, and that they differ not only in phase but also in the numbers of these particles which they contain. The external coördinates of all the systems in the ensemble are supposed, as heretofore, to have the same value, and when they vary, to vary together. For distinction, we may call such an ensemble a grand ensemble, and one in which the systems differ only in phase a petit ensemble. A grand ensemble is therefore composed of a multitude of petit ensembles. The ensembles which we have hitherto discussed are petit ensembles. (pp. 189-190)

즉, canonical ensemble을 "작은(petit)" 앙상블로 생각하고, 그 앙상블이 모여서 만든 "큰(grand)" 앙상블을 생각해 보자는 것이 깁스의 의도였다. 그 의도와는 달리 이 앙상블이 꽤 의미가 있었기에 grand (canonical) ensemble이라는 이름이 붙어버렸지만... 사실 나는 microcanonical에 대응되는 이름은 macrocanonical이 아닌가 해서 불만이 있었는데(실제로 그렇게 부르는 사람들도 있다!), 역사를 알고 나니 그냥 뭐 인간의 오해에서 기인한 이름이구나 싶어서 모든 게 용서되었다 ( - -);

결론은, 이 용어는 역사적인 이유로 (그다지 체계적이지 않게) 이름이 붙었으므로, 우리말로 번역할 때는 그 역사를 고려하여 좀 더 알기 쉬운 이름으로 쓰는 것이 좋을 것 같다. 일단 저 "canonical"을 "정준"이니 "바른틀"이니 하는 쓰지도 않는 단어로 번역할 것이 아니라 깁스의 원래 의도를 따라 "기준" "규준" "표준"과 같은 단어로 번역하고, "ensemble" 역시 "모음" "집합"과 같이 우리가 자주 사용하는 단어로 번역하는 게 나을 것이라 생각한다. (한 단계 더 나아가 "분포"로 번역할 수도 있겠지만, 통계역학에서 ensemble과 distribution은 좀 다르게 생각하는 게 많은 듯 하여...) 번역어를 한 번 던져보자면 이렇다.

canonical ensemble: 표준적 모음
microcanonical ensemble: 소표준적 모음
grand canonical ensemble: 거대 표준적 모음

("-적"은 일본어 어투이므로 쓰지 말자는 사람들이 많은데, 나는 "-적"이 붙고 안 붙고에 따라 어감이 달라진다고 생각한다. "표준적 모음"과 "표준 모음"은 많이 다른 느낌...)
by 로보스 | 2018/02/09 06:39 | |과학| | 트랙백 | 덧글(0)
이론가의 어그로
요새 드 젠(de Gennes) 선생의 유명한 고분자 물리학 책 Scaling Concepts in Polymer Physics를 공부하고 있다. 그런데 오늘 어마어마한 어그로를 발견. 젤화 과정(gelation)의 스미기 이론(percolation theory)을 설명하던 와중에, 임계 지수(critical exponent)를 대충 계산하는 평균 장 이론(mean field theory)이 안 맞음에도 불구하고 실험하는 사람들이 자꾸 그 값으로 실험을 해석한다며 이런 말을 남기심.

이걸로 괴로워할 필요 없다. 자기 상 전이 분야에서도 역시 임계 지수들이 평균 장 값들과 차이를 보였지만, 평균 장 이론이 틀렸음을 실험가들에게 납득시키는 데에는 30년도 넘게 걸렸다.
This should not disturb us: in the field of magnetic phase transitions, where critical exponents are also rather different from the mean field values, it took more than 30 years to convince the experimentalists that mean field theory was wrong. (p. 139)

이게 바로 이론으로 노벨상 받은 사람의 위엄인가!
by 로보스 | 2017/08/11 01:28 | |과학| | 트랙백 | 덧글(2)
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즐겁게 살아야죠. :)
by 로보스
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